Un minimum en économie

Dans cet exercice, nous allons établir une méthode de détermination graphique du minimum du coût moyen de production.

Considérons une entreprise de fabrication de tissu. Pour une production de \(x\) kilos de tissu, on a modélisé les coûts de production par les fonctions définies par :

• \(C_T\left(x\right) = x^3 - 12x^2 + 48x\) : coût total de production pour \(x\) dans \([0~;8]\) ;
• \(C_m(x)=3x^2-24x+48\) : coût marginal pour \(x\) dans \([0~;8]\) ;
• \(C_M(x)=x^2-12x+48\) : coût moyen pour \(x\) dans \(]0~;8]\).
  

Dans tout ce qui suit, \(\text M\) est un point de la courbe représentative de la fonction \(C_T\) d'abscisse le réel \(a\) appartenant à \([0~;8]\), on appelle \(\text O\) le point de coordonnées \((0~;0)\).

Partie A : conjectures

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant sont affichées :

• la courbe représentative de la fonction \(C_T\) ;
• la sécante \((\text O\text M)\) ;
• la tangente à la courbe représentative de la fonction \(C_T\) au point \(\text M\).

1. En cliquant sur les cases correspondantes, afficher le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe représentative de la fonction coût marginal. Déplacer le point \(\text M\). Quelle relation semble-t-il y avoir entre ce coefficient directeur et le coût marginal en \(x=a\) ?
2. En cliquant sur les cases correspondantes, afficher le coefficient directeur de la sécante \((\text O\text M)\). Déplacer le point \(\text M\). Quelle relation semble-t-il y avoir entre ce coefficient directeur et le coût moyen en \(x=a\) ?
3. Afficher le point correspondant au minimum de la fonction coût moyen ; appelons \(x_0\) son abscisse. Déplacer le point \(\text M\) pour que son abscisse soit égale à \(x_0\). Que peut-on remarquer concernant les positions de la droite tangente en \(\text M\) et la sécante \((\text O\text M)\) ?
4. Exprimer par une phrase une méthode qui permette de déterminer la valeur minimale du coût moyen de production à partir de la courbe représentative de la fonction coût total de production.

Partie B : démonstration

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction \(C_T\) en \(a\). Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût marginal de production de \(a\) objets.
2. Déterminer le coefficient directeur de la droite \(\left(\text O\text M\right)\) en fonction de \(a\). Justifier que ce coefficient directeur correspond au coût moyen de production de \(a\) objets.
3. Justifier que la fonction coût moyen admet un minimum en \(a=6\) et démontrer que la droite tangente à la courbe représentative de la fonction coût total et la sécante \((\text O\text M)\) sont confondues pour \(a=6.\)
4. Conclure.